Question

已知二次函數(shù)與交于兩點(diǎn)且，奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，與都在取到最小值．
（1）求的解析式；
（2）若與圖象恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）．

解析試題分析：（1）由已知是奇函數(shù)，故，從而得，所以，又當(dāng)時(shí)，在取到最小值，由均值不等式等號(hào)成立的條件可得，即．再由已知及弦長(zhǎng)公式，得，解方程組便得的值，從而得函數(shù)和的解析式；（2）由已知，與，即有兩個(gè)不等的實(shí)根，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，即一元二次方程根的分布問(wèn)題，列不等式組解決問(wèn)題．
試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/77/a/y6fx41.png" style="vertical-align:middle;" />是奇函數(shù)，由得，所以，由于時(shí)，有最小值，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)：取到最小值，所以，即．
設(shè)，，則．由得：，所以：，解得：，所以        6分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/36/a/agrfw.png" style="vertical-align:middle;" />與，即有兩個(gè)不等的實(shí)根，也即方程有兩個(gè)不等的實(shí)根．
當(dāng)時(shí)，有，解得；當(dāng)時(shí)，有，無(wú)解．
綜上所述，．                                13分
考點(diǎn)：1．函數(shù)的最值；2．函數(shù)的奇偶性；3．弦長(zhǎng)公式；4．一元二次方程根的分布問(wèn)題．