Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²+lnx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：當(dāng)x＞1時(shí)，

1

2

x²+lnx＜

2

3

x³．

Answer 1

（1）依題意知函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x＞0}，
∵f′（x）=x+

1

x

，∴f′（x）＞0，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）．
（2）證明：設(shè)g（x）=

2

3

x³-

1

2

x²-lnx，
∴g′（x）=2x²-x-

1

x

，
∵當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）=

(x-1)(2x2+x+1)

x

＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
∴g（x）＞g（1）=

1

6

＞0，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，

1

2

x²+lnx＜

2

3

x³．