Question

已知2x≤256且log2x≥

1

2

，求函數(shù)f（x）=log2

x

2

•log

2

x

2

的值域．

Answer 1

分析：由2^x≤256及log2x≥

1

2

可求x的取值范圍，利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)對所求函數(shù)進(jìn)行化簡可得，y=（log₂x）²-3log₂x+2，可令log₂x=t，由x得范圍可求t的范圍，則可轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)y=t²-3t+2，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)值域

解答：解：由2^x≤256得x≤8，則

1

2

≤log₂x≤3，
y=f（x）=（log₂x-1）（log₂x-2）=（log₂x）²-3log₂x+2，
令log₂x=t，則t∈[

1

2

，3]，
則y=t²-3t+2，其中對稱軸為t=

3

2

，故當(dāng)t=

3

2

時，y有最小值是-

1

4

，
故t=3時，y最大值2，故函數(shù)值域是[-

1

4

，2]．

點(diǎn)評：熟練掌握對數(shù)的基本運(yùn)算性質(zhì)是轉(zhuǎn)化本題的關(guān)鍵，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值（值域）的求解是函數(shù)部分�？嫉脑囶}，利用函數(shù)的圖象是解決此類問題的關(guān)鍵．