Question

已知點(diǎn)是雙曲線(xiàn)和圓的一個(gè)交點(diǎn)，是雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，，則雙曲線(xiàn)的離心率為

A．

B．

C．2

D．

Answer 1

A              

試題分析：∵雙曲線(xiàn)方程為，
∴雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-c，0）、F₂（c，0），其中c=，
∵圓方程為x²+y²=a²+b²，即x²+y²=c²
∴該半徑等于c，且圓經(jīng)過(guò)F₁和F₂．
∵點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)與圓x²+y²=a²+b²的交點(diǎn)，
∴△PF₁F₂中，|OP|=c=|F₁F₂|，可得∠F₁PF₂=90°，∵∠PF₂F₁=2∠PF₁F₂，且∠PF₂F₁+∠PF₁F₂=90°，
∴∠PF₁F₂=30°，且∠PF₂F₁=60°，由此可得|PF₁|=c，|PF₂|=c，
根據(jù)雙曲線(xiàn)定義，可得2a=|PF₁|-|PF₂|=（-1）c，
∴雙曲線(xiàn)的離心率e=，故選A。
點(diǎn)評(píng)：中檔題，在已知焦點(diǎn)三角形中的角度關(guān)系下求雙曲線(xiàn)的離心率，往往需要探究三角形的特征，結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義，建立方程（組）加以解答。