Question

【題目】若橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，在軸上的射影恰為橢圓的左焦點(diǎn)，與中心的連線平行于右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)的連線，且左焦點(diǎn)與左頂點(diǎn)的距離等于，試求橢圓的離心率及其方程．

Answer 1

【答案】

【解析】

試題分析：根據(jù)條件可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，由與中心的連線平行于右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)的連線可得b＝c，故a＝c，e＝＝，又a－c＝－，可得a＝，c＝，因此b＝，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

試題解析：

設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

當(dāng)，可得，

∴y2＝b2(1－)＝，

∴y＝±，

不妨設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－c，)，

由條件可得橢圓的右頂點(diǎn)A(a,0)，上頂點(diǎn)B(0，b)，

∵OP∥AB，

∴kOP＝kAB，

∴－＝－，

∴b＝c.

又a2＝b2＋c2＝2c2，

∴a＝c，

∴e＝＝，

又a－c＝－，

解得a＝，c＝，

∴b＝，

∴所求橢圓的離心率為，標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.