Question

【題目】設(shè)數(shù)列滿足，，，.s

（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項；

（2）求數(shù)列的通項，并求數(shù)列的前項和；

（3）若，且是單調(diào)遞增數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，；（2），；

（3）.

【解析】

（1）利用等差數(shù)列的定義可證明出數(shù)列是等差數(shù)列，并確定該數(shù)列的首項和公差，即可得出數(shù)列的通項；

（2）利用累加法求出數(shù)列的通項，然后利用裂項法求出數(shù)列的前項和；

（3）求出，然后分為正奇數(shù)和正偶數(shù)兩種情況分類討論，結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.

（1），等式兩邊同時減去得，

，且，

所以，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，

因此，；

（2），

，，

；

（3）.

當(dāng)為正奇數(shù)時，，，

由，得，可得，

由于數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，；

當(dāng)為正偶數(shù)時，，，

由，得，可得，

由于數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，.

因此，實數(shù)的取值范圍是.