Question

已知

2

3

≤a≤1，若f（x）=ax²-2x+1在[1，3]上的最大值為M（a），最小值為N（a），已知g（a）=M（a）-N（a）．
（1）求g（a）的函數(shù)表達式．
（2）判斷g（a）在[

2

3

，1]上的單調(diào)性，并證明．
（3）求出函數(shù)y=g（a）在[

2

3

，1]上的值域．

Answer 1

分析：（1）先判定二次函數(shù)的對稱軸的范圍，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求出該函數(shù)的最值，從而求出g（a）的函數(shù)表達式．
（2）先求導(dǎo)函數(shù)，然后判定導(dǎo)函數(shù)在[

2

3

，1]上的符號，從而確定函數(shù)的單調(diào)性；
（3）利用（2）的結(jié)論可求出函數(shù)的最值，從而得到函數(shù)的值域．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=ax²-2x+1的對稱軸為x=

1

a

∵

2

3

≤a≤1，
∴

1

a

∈[1，

3

2

]
∵函數(shù)f（x）=ax²-2x+1開口向上，對稱軸x=

1

a

∈[1，

3

2

]
∴g（a）=M（a）-N（a）=f（3）-f（

1

a

）=9a+

1

a

-6．
（2）g′（a）=9-

1

a2

當a∈[

2

3

，1]時，g′（a）=9-

1

a2

＞0
∴g（a）在[

2

3

，1]上單調(diào)遞增
（3）由（2）可知g（a）在[

2

3

，1]上單調(diào)遞增
∴g（a）_min=g（

2

3

）=

3

2

，g（a）_max=g（1）=4
則函數(shù)y=g（a）在[

2

3

，1]上的值域為[

3

2

，4]

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和值域，同時考查了計算能力，屬于中檔題．