Question

【題目】設函數(shù) （a∈R）．
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）曲線y=xf（x） 是否存在經(jīng)過原點的切線，若存在，求出該切線方程，若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定義域為（0，+∞），

，

令h（x）=x2+2﹣2lnx，則 ，

故函數(shù)h（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，

h（x）min=h（1）=3＞0，

即當x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0

所以，f（x）的單調增區(qū)間為（0，+∞）；

（2）解：不妨設曲線y=xf（x）在點（m，mf（m））（m＞0）處的切線經(jīng)過原點，

則有y=xf（x），y′=[xf（x）]′，即y′=x﹣a+ ，

可得切線的斜率為k=m﹣a+ ，

切線的方程為y﹣（ m2﹣am+lnm）=（m﹣a+ ）（x﹣m），

代入（0，0），化為 m2﹣lnm+1=0，（*）

記 ，則 ，

令g'（x）=0，解得x=1．

當0＜x＜1時，g'（x）＜0，當x＞1時，g'（x）＞0，

∴ 是g（x）的最小值，即當x＞0時， ．

由此說明方程（*）無解，

∴曲線y=f（x）沒有經(jīng)過原點的切線．

【解析】（1）求出f（x）的導數(shù)，可令h（x）=x2+2﹣2lnx，再求導數(shù)和單調區(qū)間，可得最小值，即可判斷f（x）的單調性；（2）不妨設曲線y=xf（x）在點（m，mf（m））（m＞0）處的切線經(jīng)過原點，求出y=xf（x）的導數(shù)，可得切線的斜率，求得切線方程，代入原點，可得 m2﹣lnm+1=0，（*），記 ，求出導數(shù)，判斷單調性，即可得到方程解的情況．
【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減才能正確解答此題．