Question

在極坐標(biāo)系中，從極點(diǎn)O作直線(xiàn)與另一直線(xiàn)l：ρcosθ=4相交于點(diǎn)M，在OM上取一點(diǎn)P，使

OM

•

OP

=12．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）設(shè)R為l上任意一點(diǎn)，試求RP的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出直線(xiàn)l的普通方程，設(shè)出M的坐標(biāo)，P的坐標(biāo)，建立M，P兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，求出向量

OM

，

OP

，通過(guò)

OM

•

OP

=12，求出點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）要求RP的最小值，就是求圓心到直線(xiàn)的距離減去半徑即可．

解答：解：（1）直線(xiàn)ρcosθ=4在平面直角坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)的方程為x=4，
設(shè)M的坐標(biāo) （4，b），P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
則

b

4

=

y

x

，b=

4y

x

，

OM

=（4，b），

OP

=（x，y），
∵

OM

•

OP

=12，4x+by=12，
所以4x+

4y

x

•y=12，x²-3x+y²=0這就是所求圓的方程，化為標(biāo)準(zhǔn)式為（x-

3

2

）²+y²=

9

4

；
（2）因?yàn)镽為l上任意一點(diǎn)，（x-

3

2

）²+y²=

9

4

；
圓心坐標(biāo)（

3

2

，0），半徑為：

3

2

；
則圓心到直線(xiàn)x=4的距離為：4-

3

2

=

5

2

，
圓的半徑為：

3

2

，
所以所求RP的最小值為

5

2

-

3

2

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的求法，極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，兩點(diǎn)之間的距離，轉(zhuǎn)化為圓心到直線(xiàn)的距離的求法，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．