Question

過點O（0，0）作直線與圓(x-4

5

)2+(y-8)2=169相交，在弦長均為整數的所有直線中，等可能的任取一條直線，則長度不超過14的概率為

 

．

Answer 1

分析：利用圓的標準方程求出圓的圓心及半徑，求出當直線與圓心和（0，0）連線垂直時的弦長即最短的弦長，求出直徑即最大的弦長，求出最大弦長與最小弦長之間的所有的直線條數，選出長度不超過14的直線條數，利用古典概型概率公式求出概率．

解答：解：(x-4

5

)2+(y-8)2=169的圓心為(4

5

，8)，半徑為13
∵（0，0）在圓的內部且圓心與（0，0）的距離為

80+64

=12
∴過點O（0，0）作的直線中，最短的弦是直線與圓心和（0，0）連線垂直
最短的弦長為2

132-122

=10
過點O（0，0）作的直線中，最長的弦是直徑，其長為26
弦長均為整數的所有直線的條數有2×（25-10）+2=32
其中長度不超過14的有：10，11，11，12，12，13，13，14，14共9條
所以長度不超過14的概率為

9

32

．
故答案為：

9

32

點評：求直線的最小弦長、最大弦長問題一般利用圓的幾何性質：當直線與定點和圓心連線垂直時，弦長最小，當直線是圓的直徑時，弦長最大．