Question

（2013•嘉定區(qū)二模）過點(diǎn)P（1，1）作直線與雙曲線x2-

y2

2

=1交于A、B兩點(diǎn)，使點(diǎn)P為AB中點(diǎn)，則這樣的直線（　　）

A．存在一條，且方程為2x-y-1=0

B．存在無數(shù)條

C．存在兩條，方程為2x±（y+1）=0

D．不存在

Answer 1

分析：利用平方差法：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入雙曲線方程然后作差，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式及斜率公式可求得直線l的斜率，再用點(diǎn)斜式即可求得直線方程，然后再檢驗(yàn)直線與曲線方程聯(lián)立的方程的解的存在的情況

解答：解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
則x₁²-

1

2

y12=1，x₂²-

1

2

y22=1，
兩式相減得（x₁-x₂）（x₁+x₂）-

1

2

（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
∴x1-x2=

1

2

(y1-y2)，
即k_AB=2，
故所求直線方程為y-1=2（x-1），即2x-y-1=0．
聯(lián)立

y=2x-1 x2- 1 2 y2=1

可得2x²-4x+3=0，但此方程沒有實(shí)數(shù)解
故這樣的直線不存在
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查直線方程的求法，涉及弦中點(diǎn)問題，往往考慮利用“平方差法”加以解決．但是一定要檢驗(yàn)所求直線與橢圓的方程的解的存在情況