Question

已知函數(shù)f(x)＝|ax－2|＋bln x(x>0，實(shí)數(shù)a，b為常數(shù))．
(1)若a＝1，f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，求b的取值范圍；
(2)若a≥2，b＝1，求方程f(x)＝在(0,1]上解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

（1）[2，＋∞)．
（2）0

解：(1)當(dāng)a＝1時(shí)，
f(x)＝|x－2|＋bln x

①當(dāng)0<x<2時(shí)，f(x)＝－x＋2＋bln x，
f′(x)＝－1＋.
由條件得－1＋≥0恒成立，即b≥x恒成立．
所以b≥2；
②當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)＝x－2＋bln x，
f′(x)＝1＋.
由條件得1＋≥0恒成立，即b≥－x恒成立．
所以b≥－2.
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖像在(0，＋∞)上不間斷，綜合①②得b的取值范圍是[2，＋∞)．
(2)令g(x)＝|ax－2|＋ln x－，即

當(dāng)0<x<時(shí)，
g(x)＝－ax＋2＋ln x－，
g′(x)＝－a＋＋.
因?yàn)?<x<，所以>，
則g′(x)>－a＋＋＝≥0，
即g′(x)>0，所以g(x)在上是單調(diào)增函數(shù)；
當(dāng)x>時(shí)，g(x)＝ax－2＋ln x－，
g′(x)＝a＋＋>0，
所以g(x)在上是單調(diào)增函數(shù)．
因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的圖像在(0，＋∞)上不間斷，所以g(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)．
因?yàn)間＝ln－，
而a≥2，所以ln≤0，則g<0，
g(1)＝|a－2|－1＝a－3.
①當(dāng)a≥3時(shí)，因?yàn)間(1)≥0，所以g(x)＝0在(0,1]上有唯一解，即方程f(x)＝解的個(gè)數(shù)為1；
②當(dāng)2≤a<3時(shí)，因?yàn)間(1)<0，所以g(x)＝0在(0,1]上無(wú)解，即方程f(x)＝解的個(gè)數(shù)為0.