Question

【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率等于時(shí)，軸.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與直線相交于點(diǎn)，試判斷以為直徑的圓是否過(guò)軸上的定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見(jiàn)解析.

【解析】

（Ⅰ）首先根據(jù)題設(shè)給的點(diǎn)的特殊位置，建立關(guān)于的等式，再通過(guò)解方程求出，從而得到所求標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）首先根據(jù)條件利用直線方程的點(diǎn)斜式得到直線的方程，并利用橢圓方程整理化簡(jiǎn)方程，然后求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)圓的知識(shí)轉(zhuǎn)化成向量垂直，進(jìn)而求出定點(diǎn)坐標(biāo).

（Ⅰ）依題意，

又因?yàn)?/span>， 所以，解得.

所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）直線的方程：即，

依題意，有，即，

所以的方程為，所以點(diǎn)，

設(shè)定點(diǎn)，由，

即，所以，

綜上，存在定點(diǎn)符合條件.