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        1. (2013•青浦區(qū)一模)設(shè)直線L1:y=k1x+p,p≠0交橢圓Γ:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)于C、D兩點,交直線L2:y=k2x于點E.
          (1)若E為CD的中點,求證:k1k2=-
          b2
          a2
          ;
          (2)寫出上述命題的逆命題并證明此逆命題為真;
          (3)請你類比橢圓中(1)、(2)的結(jié)論,寫出雙曲線中類似性質(zhì)的結(jié)論(不必證明).
          分析:(1)設(shè)點作差,利用點差法,結(jié)合E為CD的中點,即可證明結(jié)論;
          (2)寫出逆命題,證法一,直線方程與橢圓方程聯(lián)立,利用條件及中點坐標(biāo)公式,即可得到結(jié)論;證法二,利用點差法證明;
          (3)利用類比的方法,即可得到結(jié)論.
          解答:(1)證明:設(shè)C(x1,y1)D(x2,y2)E(x0,y0),則
          x12
          a2
          +
          y12
          b2
          =1 (1)
          x22
          a2
          +
          y22
          b2
          =1 (2)

          兩式相減得
          (x1-x2)(x1+x2)
          a2
          +
          (y1-y2)(y1+y2)
          b2
          =0

          2x0(x1-x2)
          a2
          +
          2y0(y1-y2)
          b2
          =0
          …(3分)
          k1=
          y1-y2
          x1-x2
          =
          -b2x0
          a2y0
          =-
          b2
          a2k2

          k1k2=-
          b2
          a2
          …(7分)
          (2)解:逆命題:設(shè)直線L1:y=k1x+p交橢圓Γ:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1 (a>b>0)
          于C、D兩點,交直線L2:y=k2x于點E.若k1k2=-
          b2
          a2
          ,則E為CD的中點.…(9分)
          證法一:由方程組
          y=k1x+p
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1
          ⇒(b2+a2
          k
          2
          1
          )x2+2k1pa2x+a2p2-a2b2=0
          …(10分)
          因為直線L1:y=k1x+p交橢圓C、D于C、D兩點,
          所以△>0,即a2
          k
          2
          1
          +b2-p2>0
          ,設(shè)C(x1,y1)、D(x2,y2)、E(x0,y0
          則∴x0=
          x1+x2
          2
          =
          -k1pa2
          b2+a2
          k
          2
          1
          ,y0=
          y1+y2
          2
          =
          pb2
          b2+a2
          k
          2
          1
          …(12分)
          y=k1x+p
          y=k2x
          x=
          p
          k2-k1
          y=k2x

          又因為k1k2=-
          b2
          a2
          ,所以
          x=
          p
          k2-k1
          =
          -a2k1p
          b2+a2
          k
          2
          1
          =x0
          y=k2x=
          b2p
          b2+a2
          k
          2
          1
          =y0
          ,故E為CD的中點.…(14分)
          證法二:設(shè)C(x1,y1)D(x2,y2)E(x0,y0
          x12
          a2
          +
          y12
          b2
          =1 (1)
          ,
          x22
          a2
          +
          y22
          b2
          =1 (2)

          兩式相減得
          (x1-x2)(x1+x2)
          a2
          +
          (y1-y2)(y1+y2)
          b2
          =0

          k1=
          y1-y2
          x1-x2
          =
          -b2•(x1+x2)
          a2•(y1+y2)
          …(9分)
          又∵k1k2=-
          b2
          a2
           ,k2=
          y0
          x0
          ,
          y1+y2
          x1+x2
          =
          x0
          y0
          k1x1+p+k2x2+p
          x1+x2
          =
          kx0+p
          x0
          …(12分)∴k1+
          2p
          x1+x2
          =k1+
          p
          x0

          得x1+x2=2x0∴y1+y2=2y0,即E為CD的中點.…(14分)
          (3)解:設(shè)直線L1:y=k1x+p,p≠0交雙曲線Γ:
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1 (a>0 ,b>0)
          于C、D兩點,交直線L2:y=k2x于點E.
          則E為CD中點的充要條件是k1k2=
          b2
          a2
          .…(16分)
          點評:本題考查直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系,考查點差法的運用,考查學(xué)生分析解決問題的能力,正確運用點差法是關(guān)鍵.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•青浦區(qū)一模)如果執(zhí)行如圖的框圖,輸入N=5,則輸出的數(shù)等于
          4
          5
          4
          5

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•青浦區(qū)一模)已
          m
          =(2cosx+2
          3
          sinx,1),
          n
          =(cosx,-y),滿足
          m
          n
          =0

          (1)將y表示為x的函數(shù)f(x),并求f(x)的最小正周期;
          (2)已知a,b,c分別為△ABC的三個內(nèi)角A,B,C對應(yīng)的邊長,若f(x)≤f(
          A
          2
          )
          對所有的x∈R恒成立,且a=2,求b+c的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•青浦區(qū)一模)已知集合A={x|x≤2},B={x|x≥a},且A∪B=R,則實數(shù)a的取值范圍是
          a≤2
          a≤2

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•青浦區(qū)一模)若
          .
          135
          a2b2c2
          246
          .
          =a2A2+b2B2+c2C2,則C2化簡后的最后結(jié)果等于
          2
          2

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•青浦區(qū)一模)(文)已知正三棱柱的底面正三角形邊長為2,側(cè)棱長為3,則它的體積V=
          3
          3
          3
          3

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