Question

已知橢圓+=1的左右焦點(diǎn)分別為F₁與F₂，點(diǎn)P在直線l：x-y+8+2=0上．當(dāng)∠F₁PF₂取最大值時(shí)，的比值為    ．

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)橢圓+=1的方程得出其左右焦點(diǎn)分別為F₁（-2，0）、與F₂（2，0）．如圖，根據(jù)平面幾何知識(shí)知，當(dāng)∠F₁PF₂取最大值時(shí)，經(jīng)過F₁與F₂的圓與直線l 相切，求出圓心坐標(biāo)，再利用相似三角形的知識(shí)得出，最后利用相似比即可求出答案．
解答：解：橢圓+=1的左右焦點(diǎn)分別為F₁（-2，0）、與F₂（2，0）．
如圖，根據(jù)平面幾何知識(shí)知，當(dāng)∠F₁PF₂取最大值時(shí)，經(jīng)過F₁與F₂，的圓與直線l 相切，此時(shí)圓心在y軸上，坐標(biāo)為A（0，2），
在直線l：x-y+8+2=0中令y=0得B的坐標(biāo)：
B（-8-2，0），
在三角形BPF₁和三角形BF₂P中，∠BPF₁=∠BF₂P，
∴△BPF₁∽△BF₂P，
∴==-1．
故答案為：-1．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與圓錐曲線的關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系、圓的切線等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．