已知函數(shù),
,其中
為常數(shù),
,函數(shù)
的圖象與坐標軸交點處的切線為
,函數(shù)
的圖象與直線
交點處的切線為
,且
。
(Ⅰ)若對任意的,不等式
成立,求實數(shù)
的取值范圍.
(Ⅱ)對于函數(shù)和
公共定義域內(nèi)的任意實數(shù)
。我們把
的值稱為兩函數(shù)在
處的偏差。求證:函數(shù)
和
在其公共定義域的所有偏差都大于2.
(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析.
解析試題分析:(Ⅰ)利用參數(shù)分離法將不等式問題轉(zhuǎn)化為,等價轉(zhuǎn)化為
處理,于是問題的核心就是求函數(shù)
,利用導數(shù)求解,但同時需要注意題中的隱含條件將
的值確定下來;(Ⅱ)先確定函數(shù)
與函數(shù)
的解析式,然后引入函數(shù)
,通過證明
,進而得到
,得到
,于是就說明原結(jié)論成立.
試題解析:解(Ⅰ)函數(shù)的圖象與坐標軸的交點為
,
又
函數(shù)的圖象與直線
的交點為
,
又
由題意可知,
又,所以
3分
不等式可化為
即
令,則
,
又時,
,
,
故,
在
上是減函數(shù)
即在
上是減函數(shù)
因此,在對任意的,不等式
成立,
只需
所以實數(shù)的取值范圍是
8分
(Ⅱ)證明:和
的公共定義域為
,由(Ⅰ)可知
,
令,則
,
在
上是增函數(shù)
故,即
①
令,則
,
當時,
;當
時,
,
有最大值
,因此
②
由①②得,即
又由①得
由②得
故函數(shù)和
在其公共定義域的所有偏差都大于2  
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),其中
是自然對數(shù)的底數(shù),
.
(1)若,求曲線
在點
處的切線方程;
(2)若,求
的單調(diào)區(qū)間;
(3)若,函數(shù)
的圖象與函數(shù)
的圖象有3個不同的交點,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
某商場在店慶一周年開展“購物折上折活動”:商場內(nèi)所有商品按標價的八折出售,折后價格每滿500元再減100元.如某商品標價為1500元,則購買該商品的實際付款額為1500×0.8-200=1000(元).設(shè)購買某商品得到的實際折扣率.設(shè)某商品標價為
元,購買該商品得到的實際折扣率為
.
(Ⅰ)寫出當時,
關(guān)于
的函數(shù)解析式,并求出購買標價為1000元商品得到的實際折扣率;
(Ⅱ)對于標價在[2500,3500]的商品,顧客購買標價為多少元的商品,可得到的實際折扣率低于?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),其圖象為曲線
,點
為曲線
上的動點,在點
處作曲線
的切線
與曲線
交于另一點
,在點
處作曲線
的切線
.
(Ⅰ)當時,求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當點時,
的方程為
,求實數(shù)
和
的值;
(Ⅲ)設(shè)切線、
的斜率分別為
、
,試問:是否存在常數(shù)
,使得
?若存在,求出
的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(14分)已知函數(shù),其中a是實數(shù),設(shè)A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))為該函數(shù)圖象上的點,且x1<x2.
(I)指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若函數(shù)f(x)的圖象在點A,B處的切線互相垂直,且x2<0,求x2﹣x1的最小值;
(III)若函數(shù)f(x)的圖象在點A,B處的切線重合,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)(
,
),
.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并確定其零點個數(shù);
(2)若在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增,求
的取值范圍;
(3)證明不等式 (
).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
某水域一艘裝載濃硫酸的貨船發(fā)生側(cè)翻,導致濃硫酸泄漏,對河水造成了污染.為減少對環(huán)境的影響,環(huán)保部門迅速反應(yīng),及時向污染河道投入固體堿,個單位的固體堿在水中逐漸溶化,水中的堿濃度
與時間
(小時)的關(guān)系可近似地表示為:
,只有當污染河道水中堿的濃度不低于
時,才能對污染產(chǎn)生有效的抑制作用.
(Ⅰ) 如果只投放1個單位的固體堿,則能夠維持有效的抑制作用的時間有多長?
(Ⅱ) 第一次投放1單位固體堿后,當污染河道水中的堿濃度減少到時,馬上再投放1個單位的固體堿,設(shè)第二次投放后水中堿濃度為
,求
的函數(shù)式及水中堿濃度的最大值.(此時水中堿濃度為兩次投放的濃度的累加)
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