Question

(本小題滿分14分) 設函數(shù).
（Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）當時，若函數(shù)在上是增函數(shù)，求的取值范圍；
（Ⅲ）若，不等式對任意恒成立，求整數(shù)的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ） ，整數(shù)的最大值為3 .

（1）當時，由導數(shù)的幾何意義求出
寫出切線方程；
（2）當，函數(shù)在上是增函數(shù)，只需在 上恒成立，可利用二次函數(shù)的性質(zhì)直接求在上最小
值大于或等于0，關(guān)鍵是討論對稱軸與區(qū)間的關(guān)系；也可以分離參數(shù)求最值；
（3）當，易得函數(shù)在上遞增，要證，只需證，構(gòu)造，研究單調(diào)性求其最小值，只需。
的最大值為3 .
解：（Ⅰ）當時， 所以 即切點為 
因為所以  
所以切線方程為  即
（Ⅱ）y=f(x)在[－1，1]上單調(diào)遞增，又 
方法一：（求函數(shù)的最值，即二次函數(shù)的動軸定區(qū)間最值）依題意在[－1，1]上恒有≥0，即 
①當；所以舍去；
②當； 所以舍去；
③當 
綜上所述，參數(shù)a的取值范圍是。
方法二：（分離參數(shù)法）
（Ⅲ）
由于，所以
所以函數(shù)在上遞增
所以不等式對恒成立
構(gòu)造       
構(gòu)造     
對 ， 所以在遞增

所以,
所以,所以在遞減
,所以在遞增
所以,結(jié)合得到
 
所以對恒成立， 所以 ，整數(shù)的最大值為3