Question

（2013•黑龍江二模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，側棱PA丄底面ABCD底面ABCD為矩形，E為PD上一點，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE．
（I）若F為PE的中點，求證BF∥平面ACE；
（Ⅱ）求三棱錐P-ACE的體積．

Answer 1

分析：（I）由題意可得E、F都是線段PD的三等分點．設AC與BD的交點為O，則OE是△BDF的中位線，故有BF∥OE，再根據(jù)直線和平面平行的判定定理證得 BF∥平面ACE．
（II）由條件證明CD⊥平面PAE，再根據(jù)三棱錐P-ACE的體積V_P-ACE=V_C-PAE=

1

3

S_△PAE•CD=

1

3

（

2

3

•

1

2

•PA•PD）•AB=

1

9

•PA•PD•AB，運算求得結果．

解答：解：（I）若F為PE的中點，由于底面ABCD為矩形，E為PD上一點，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE，故E、F都是線段PD的三等分點．
設AC與BD的交點為O，則OE是△BDF的中位線，故有BF∥OE，而OE在平面ACE內(nèi)，BF不在平面ACE內(nèi)，故BF∥平面ACE．
（II）由于側棱PA丄底面ABCD，且ABCD為矩形，故有CD⊥PA，CD⊥AD，故CD⊥平面PAE，．
三棱錐P-ACE的體積V_P-ACE=V_C-PAE=

1

3

S_△PAE•CD=

1

3

•（

2

3

•S_△PAD）•AB=

1

3

（

2

3

•

1

2

•PA•PD）•AB=

1

9

•PA•PD•AB=

1

9

•1•2•1=

2

9

．

點評：本題主要考查直線和平面垂直的判定定理的應用，用等體積法求棱錐的體積，屬于中檔題．