Question

【題目】已知?jiǎng)訄AP：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）被y軸所截的弦長(zhǎng)為2，被x軸分成兩段弧，且弧長(zhǎng)之比等于 （其中P（a，b）為圓心，O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求a，b所滿足的關(guān)系式；
（2）點(diǎn)P在直線x﹣2y=0上的投影為A，求事件“在圓P內(nèi)隨機(jī)地投入一點(diǎn)，使這一點(diǎn)恰好在△POA內(nèi)”的概率的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖所示，設(shè)圓P被y軸所截的弦為EF，與x軸相較于C，D兩點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)P作PM⊥EF，垂足為M，連接PE，由垂徑定理可得|EM|=1，在Rt△EMP中，r2=1+a2．①

∵被x軸分成兩段弧，且弧長(zhǎng)之比等于 ，設(shè) 為劣弧，∴∠CPD=90°，

過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸，垂足無(wú)N，連接PD，PC，則Rt△PND為等腰直角三角形，∴r2=2b2．②

聯(lián)立①②消去r可得：2b2=1+a2，即為a，b所滿足的關(guān)系式．

（2）解：點(diǎn)P到直線x﹣2y=0的距離|PA|= =d，

∵PA⊥OA，∴|OA|= = ，

∴S△OAP= = ，

∴事件“在圓P內(nèi)隨機(jī)地投入一點(diǎn)，使這一點(diǎn)恰好在△POA內(nèi)”的概率P= =

= ，當(dāng)且僅當(dāng)d2=r2﹣d2，即 ，解得

∴P的最大值為

【解析】（1）利用垂徑定理，勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出；（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式、兩點(diǎn)間的距離公式先計(jì)算出三角形的面積，利用幾何概率的計(jì)算公式得出概率，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求得其最大值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解幾何概型的相關(guān)知識(shí)，掌握幾何概型的特點(diǎn)：1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無(wú)限多個(gè)；2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．