Question

17、如圖，在正四棱錐P-ABCD中，點M為棱AB的中點，點N為棱PC上的點．
（1）若PN=NC，求證：MN∥平面PAD；
（2）試寫出（1）的逆命題，并判斷其真假．若為真，請證明；若為假，請舉反例．

Answer 1

分析：（1）取CD的中點E，連接ME，NE，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，結(jié)合面面平行的判定定理，我們易得到平面MNE∥平面PAD，再由面面平行的性質(zhì)定理即可得到答案．
（2）根據(jù)四種命題的定義，我們易寫出（1）的逆命題，然后取CD的中點E，連接ME，NE，則易判斷出平面MNE∥平面PAD，根據(jù)面面平等的性質(zhì)定理，我們易判斷ME∥PD，根據(jù)平行線等分線段定理的推理，即可得到答案．

解答：解：（1）取CD的中點E，連接ME，NE，

則NE∥PD，ME∥AD
又∵NE?平面MNE，ME?平面MNE，ME∩NE=E
AD?平面APD，PD?平面APD，PD∩AD=D
故平面MNE∥平面PAD
又∵M(jìn)N?平面MNE，
∴MN∥平面PAD
（2）（1）的逆命題為：若MN∥平面PAD，則PN=NC，這也是一個真命題，理由如下：
取CD的中點E，連接ME，NE，

則NE∥PD，則NE∥平面ADP
又由MN∥平面PAD
MN∩ME=M
則平面MNE∥平面PAD
由面面平行的性質(zhì)得，ME∥PD
∵E為DC的中點，故N這PC的中點，
故PN=NC

點評：本題考查的知識點是直線與平面平等的判定及命題的真假判斷與應(yīng)用，其中熟練掌握線面平行、面面平行的判斷方法及性質(zhì)定理，是解答本題的關(guān)鍵．