Question

如圖，在正四棱錐P-ABCD中，∠APC=60°，則二面角A-PB-C的平面角的余弦值為（　�。�

• A．

  1

  7

• B．-

  1

  7

• C．

  1

  2

• D．-

  1

  2

Answer 1

分析：過A作AE⊥PB于E，連接EC，PO，連接AC、BD交于點O，由正四棱錐的性質(zhì)結(jié)合線面垂直的判定，得PB⊥平面ACE，所以∠AEC是二面角A-PB-C的平面角．設(shè)AB=1，可算出△AEC中，AE=CE=

14

4

，結(jié)合余弦定理和AC=

2

，算出cos∠AEC=-

1

7

，即得二面角A-PB-C的平面角的余弦．

解答：解：過A作AE⊥PB于E，連接EC，PO，連接AC、BD交于點O
∵PO是正四棱錐P-ABCD的高，PO⊥面ABCD，AC?平面ABCD
∴AC⊥PO
又∵正方形ABCD中，AC⊥BD，PO、BD是平面PBD內(nèi)的相交直線
∴AC⊥平面PBD，得PB⊥AC
∵AE⊥PB，AC、AE是平面ACE內(nèi)的相交直線
∴PB⊥平面ACE，得CE⊥PB
因此，∠AEC是二面角A-PB-C的平面角
設(shè)AB=1，得AC=

2

∵正四棱錐P-ABCD中，PA=PC，∠APC=60°，
∴△ACP是正三角形，得PA=PC=AC=

2

△PAB中，cos∠PBA=

AB2+PB2-PA2

2×AB×PB

2

4

∴Rt△ABE中，BE=ABcos∠PBA=

2

4

，AE=

AB2-BE2

=

14

4

，同理得到CE=

14

4

，
△AEC中，cos∠AEC

AE2+CE2-AC2

2AE×CE

=-

1

7

，
即二面角A-PB-C的平面角的余弦值為-

1

7

，
故選：B

點評：本題給出正四棱錐，求側(cè)面之間的二面角的余弦值，著重考查了空間垂直位置關(guān)系的證明和二面角的平面角的求法等知識，屬于中檔題．