Question

【題目】已知函數(shù)有兩個不同的極值點.

（Ⅰ）求實數(shù)a的取值范圍；

（Ⅱ）若對任意存在使得成立，證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）求得，令，得到，設(shè)，

利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，列出不等式組，即可求解；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，得到，把對任意，存在，使得成立，轉(zhuǎn)化為，化簡，

令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與極值，即可求解.

（Ⅰ）由函數(shù)，則，

令，可得，

設(shè)，則，

令，解得，

列表如下：

	+	0	-
	單調(diào)遞增		單調(diào)遞減

所以的極大值為，

又因為，

所以函數(shù)有兩個不同的極值點等價于，解得，

因此實數(shù)的取值范圍為；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故，

設(shè)的較大零點為，則，

且，；，，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

從而有最大值為，

又當(dāng)時，，故可設(shè)函數(shù)的值域為，其中，

由題意：對任意，存在，使得成立，

等價于，

而，且，

所以，，

令，則，

所以在上單調(diào)遞減，

所以，故，

因此.