Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D為AA1的中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)．
（1）求證：直線AE∥平面BDC1；
（2）若三棱柱 ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，AB=2，AA1=4，求平面BDC1與平面ABC所成二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設(shè)BC1的中點(diǎn)為F，連接EF，DF．

則EF是△BCC1中位線，根據(jù)已知得EF∥DA，且 EF=DA．

∴四邊形ADFE是平行四邊形∴AE∥DF，

∵DF平面BDC1，AE平面BDC1，

∴直線AE∥平面BDC1

（2）解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B﹣xyz，

由已知得 ．∴ ．

設(shè)平面BDC1的一個(gè)法向量為 ，

則 ．∴ ，

取z=﹣1，解得 ．

∴ 是平面BDC1的一個(gè)法向量．

由已知易得 是平面ABC的一個(gè)法向量．

設(shè)平面BDC1和平面ABC所成二面角的大小為θ，

則 ．∵0＜θ＜π，∴ ．

∴平面BDC1和平面ABC所成二面角的正弦值為 ．

【解析】（1）設(shè)BC1的中點(diǎn)為F，連接EF，DF．得到EF是△BCC1中位線，說(shuō)明EF∥DA，ADFE是平行四邊形，推出AE∥DF，即可證明直線AE∥平面BDC1 ． （2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B﹣xyz，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面BDC1的一個(gè)法向量，平面ABC的一個(gè)法向量．設(shè)平面BDC1和平面ABC所成二面角的大小為θ，通過(guò)向量的數(shù)量積求解平面BDC1和平面ABC所成二面角的正弦值即可．