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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

          【題目】已知函數f(x)=(x﹣3)ex+ax,a∈R. (Ⅰ)當a=1時,求曲線f(x)在點(2,f(2))處的切線方程;
          (Ⅱ)當a∈[0,e)時,設函數f(x)在(1,+∞)上的最小值為g(a),求函數g(a)的值域.

          【答案】解:由題意得f'(x)=(x﹣2)ex+a,

          (Ⅰ)當a=1時,f'(x)=(x﹣2)ex+1,所以f'(2)=1,

          又因為f(2)=﹣e2+2,

          則所求的切線方程為y﹣(﹣e2+2)=x﹣2,即x﹣y﹣e2=0.

          (Ⅱ)設h(x)=f'(x),則h'(x)=(x﹣1)ex>0對于x>1成立,

          所以h(x)在(1,+∞)上是增函數,又因為a∈[0,e),

          則h(1)=﹣e+a<0,h(2)=a≥0,

          所以h(x)在(1,+∞)上有唯一零點x=m(m∈(1,2]).

          則函數f(x)在(1,m)上單調遞減,在(m,+∞)上單調遞增,

          因此當a∈[0,e)時,函數f(x)在(1,+∞)上的最小值為f(m).

          因為(m﹣2)em+a=0,則﹣a=(m﹣2)em,當a∈[0,e)時,有m∈(1,2].

          所以函數f(x)有最小值f(m)=(m﹣3)em﹣(m﹣2)mem=(﹣m2+3m﹣3)em,(10分)

          令φ(m)=(﹣m2+3m﹣3)em(m∈(1,2]),

          則φ'(m)=(﹣m2+m)em<0在(1,2]上恒成立,所以φ(m)在(1,2]上單調遞減,

          因為φ(2)=﹣e2,φ(1)=﹣e,所以φ(m)的值域為[﹣e2,﹣e),

          所以g(a)的值域為[﹣e2,﹣e)


          【解析】(Ⅰ)求出函數的導數,計算f(2),f′(2),求出切線方程即可;(Ⅱ)設h(x)=f'(x),得到h(x)在(1,+∞)上有唯一零點x=m(m∈(1,2]),根據函數的單調性求出g(a),從而求出g(a)的值域即可.
          【考點精析】通過靈活運用函數的最大(小)值與導數,掌握求函數上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數內的極值;(2)將函數的各極值與端點處的函數值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值即可以解答此題.

          練習冊系列答案
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          (Ⅱ)該雕刻師記錄了過去10天每天的雕刻量n(單位:粒),整理得如表:

          雕刻量n

          210

          230

          250

          270

          300

          頻數

          1

          2

          3

          3

          1

          以10天記錄的各雕刻量的頻率作為各雕刻量發(fā)生的概率.
          (。┣笤摰窨處熯@10天的平均收入;
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          ①f( )=
          ②函數f(x)在( ,π)上為減函數
          ③任意x∈[0, ],都有f(x)+f(π﹣x)=4.

          A.①
          B.③
          C.②
          D.①②③

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