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        1. 【題目】已知函數(shù)f(x)=(x﹣3)ex+ax,a∈R. (Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求曲線f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程;
          (Ⅱ)當(dāng)a∈[0,e)時(shí),設(shè)函數(shù)f(x)在(1,+∞)上的最小值為g(a),求函數(shù)g(a)的值域.

          【答案】解:由題意得f'(x)=(x﹣2)ex+a,

          (Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),f'(x)=(x﹣2)ex+1,所以f'(2)=1,

          又因?yàn)閒(2)=﹣e2+2,

          則所求的切線方程為y﹣(﹣e2+2)=x﹣2,即x﹣y﹣e2=0.

          (Ⅱ)設(shè)h(x)=f'(x),則h'(x)=(x﹣1)ex>0對(duì)于x>1成立,

          所以h(x)在(1,+∞)上是增函數(shù),又因?yàn)閍∈[0,e),

          則h(1)=﹣e+a<0,h(2)=a≥0,

          所以h(x)在(1,+∞)上有唯一零點(diǎn)x=m(m∈(1,2]).

          則函數(shù)f(x)在(1,m)上單調(diào)遞減,在(m,+∞)上單調(diào)遞增,

          因此當(dāng)a∈[0,e)時(shí),函數(shù)f(x)在(1,+∞)上的最小值為f(m).

          因?yàn)椋╩﹣2)em+a=0,則﹣a=(m﹣2)em,當(dāng)a∈[0,e)時(shí),有m∈(1,2].

          所以函數(shù)f(x)有最小值f(m)=(m﹣3)em﹣(m﹣2)mem=(﹣m2+3m﹣3)em,(10分)

          令φ(m)=(﹣m2+3m﹣3)em(m∈(1,2]),

          則φ'(m)=(﹣m2+m)em<0在(1,2]上恒成立,所以φ(m)在(1,2]上單調(diào)遞減,

          因?yàn)棣眨?)=﹣e2,φ(1)=﹣e,所以φ(m)的值域?yàn)閇﹣e2,﹣e),

          所以g(a)的值域?yàn)閇﹣e2,﹣e)


          【解析】(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),計(jì)算f(2),f′(2),求出切線方程即可;(Ⅱ)設(shè)h(x)=f'(x),得到h(x)在(1,+∞)上有唯一零點(diǎn)x=m(m∈(1,2]),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g(a),從而求出g(a)的值域即可.
          【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),掌握求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值即可以解答此題.

          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】五一期間,某商場(chǎng)決定從2種服裝、3種家電、4種日用品中,選出3種商品進(jìn)行促銷活動(dòng).
          (1)試求選出3種商品中至少有一種是家電的概率;
          (2)商場(chǎng)對(duì)選出的某商品采用抽獎(jiǎng)方式進(jìn)行促銷,即在該商品現(xiàn)價(jià)的基礎(chǔ)上將價(jià)格提高60元,規(guī)定購(gòu)買該商品的顧客有3次抽獎(jiǎng)的機(jī)會(huì):若中一次獎(jiǎng),則獲得數(shù)額為n元的獎(jiǎng)金;若中兩次獎(jiǎng),則獲得數(shù)額為3n元的獎(jiǎng)金;若中三次獎(jiǎng),則共獲得數(shù)額為 6n元的獎(jiǎng)金.假設(shè)顧客每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率都是 ,請(qǐng)問:商場(chǎng)將獎(jiǎng)金數(shù)額n最高定為多少元,才能使促銷方案對(duì)商場(chǎng)有利?

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】已知函數(shù)f(x)= x3﹣ax,在x= 處取得極小值,記g(x)= ,程序框圖如圖所示,若輸出的結(jié)果S> ,則判斷框中可以填入的關(guān)于n的判斷條件是(
          A.n≤12?
          B.n>12?
          C.n≤13?
          D.n>13?

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】漳州水仙鱗莖碩大,箭多花繁,色美香郁,素雅娟麗,有“天下水仙數(shù)漳州”之美譽(yù).現(xiàn)某水仙花雕刻師受雇每天雕刻250粒水仙花,雕刻師每雕刻一?少1.2元,如果雕刻師當(dāng)天超額完成任務(wù),則超出的部分每粒賺1.7元;如果當(dāng)天未能按量完成任務(wù),則按實(shí)際完成的雕刻量領(lǐng)取當(dāng)天工資. (I)求雕刻師當(dāng)天收入(單位:元)關(guān)于雕刻量n(單位:粒,n∈N)的函數(shù)解析式f(n);
          (Ⅱ)該雕刻師記錄了過去10天每天的雕刻量n(單位:粒),整理得如表:

          雕刻量n

          210

          230

          250

          270

          300

          頻數(shù)

          1

          2

          3

          3

          1

          以10天記錄的各雕刻量的頻率作為各雕刻量發(fā)生的概率.
          (。┣笤摰窨處熯@10天的平均收入;
          (ⅱ)求該雕刻師當(dāng)天收入不低于300元的概率.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】某班抽取20名學(xué)生周測(cè)物理考試成績(jī)(單位:分)的頻率分布直方圖如下:

          (1)求頻率分布直方圖中a的值,并寫出眾數(shù);

          (2)分別求出成績(jī)落在[50,60)[60,70)中的學(xué)生人數(shù);

          (3)從成績(jī)?cè)?/span>[50,70)的學(xué)生中任選2人,求這2人的成績(jī)都在[60,70)中的概率.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=(x﹣a)(x﹣b)(x﹣c)(其中a>1,b>1),x=0是f(x)的一個(gè)零點(diǎn),曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線平行于x軸,則a+b的最小值為

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入的k,b,r的值分別為2,2,4,則輸出i的值是(
          A.4
          B.3
          C.6
          D.7

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】如圖1所示,在等腰梯形ABCD中, .把△ABE沿BE折起,使得 ,得到四棱錐A﹣BCDE.如圖2所示.
          (1)求證:面ACE⊥面ABD;
          (2)求平面ABE與平面ACD所成銳二面角的余弦值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,O為AD的中點(diǎn),射線OP從OA出發(fā),繞著點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至OD,在旋轉(zhuǎn)的過程中,記∠AOP為x(x∈[0,π]),OP所經(jīng)過的在正方形ABCD內(nèi)的區(qū)域(陰影部分)的面積S=f(x),那么對(duì)于函數(shù)f(x)有以下三個(gè)結(jié)論,其中不正確的是( )
          ①f( )=
          ②函數(shù)f(x)在( ,π)上為減函數(shù)
          ③任意x∈[0, ],都有f(x)+f(π﹣x)=4.

          A.①
          B.③
          C.②
          D.①②③

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