Question

【題目】現(xiàn)有一個(gè)以、為半徑的扇形池塘，在、上分別取點(diǎn)、，作、分別交弧于點(diǎn)、，且，現(xiàn)用漁網(wǎng)沿著、、、將池塘分成如圖所示的養(yǎng)殖區(qū)域.已知， ， （）.

（1）若區(qū)域Ⅱ的總面積為，求的值；

（2）若養(yǎng)殖區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分別是30萬(wàn)元、40萬(wàn)元、20萬(wàn)元，試問(wèn)：當(dāng)為多少時(shí)，年總收入最大？

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）本問(wèn)考查解三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，由及可知，根據(jù)條件易證，所以 ，由可以求出 ，所以區(qū)域Ⅱ的總面積為，則，可以求出的值；（2）本問(wèn)考查函數(shù)的最值問(wèn)題，區(qū)域Ⅰ的面積可以根據(jù)扇形面積公式求得，區(qū)域Ⅱ的面積第（1）問(wèn)中已經(jīng)求出，區(qū)域Ⅲ的面積可以用1/4圓的面積減去區(qū)域Ⅰ、Ⅱ的面積，于是得到年收入函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值即可得出年收入的最大值.

試題解析：（1）因?yàn)?/span>， ，所以.

因?yàn)?/span>， ， ，

所以， .

又因?yàn)?/span>，所以.

所以 ，

又

所以

所以（）.

由得， ， .

（2）因?yàn)?/span>，所以 .

記年總收入為萬(wàn)元，

則

（），

所以，令，則.

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， .

故當(dāng)時(shí)， 有最大值，即年總收入最大.