Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*．
（1）設(shè)b_n=a_n-n，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列a_n的前n項(xiàng)和為S_n，證明：對(duì)任意的n∈N^*，不等式S_n+1≤4S_n恒成立．

Answer 1

分析：（1）直接利用條件求b_n+1和b_n的關(guān)系即可找到數(shù)列{b_n}的規(guī)律，進(jìn)而求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）先求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；，再對(duì)其分組求和求出前n項(xiàng)和為S_n，再對(duì)S_n+1與4S_n恒作差比較即可判斷．

解答：解：（1）∵b_n+1=a_n+1-（n+1）=4a_n-3n+1-（n+1）=4（a_n-n）=4b_n（3分）
且b₁=a₁-1=1（14分）∴b_n為以1為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列∴b_n=b₁q^n-1=4^n-1（5分）
（2）∵a_n=b_n+n=4^n-1+n，（6分）∴Sn=

4n-1

3

+

n(n+1)

2

（8分）
∴Sn+1-4Sn=

4n+1-1

3

+

(n+1)(n+2)

2

-4[

4n-1

3

+

n(n+1)

2

]=-

1

2

(3n+4)(n-1)≤0（11分）
∴不等式S_n+1≤4S_n對(duì)任意的n∈N^*皆成立（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由遞推公式推導(dǎo)數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等差等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用．是中檔題．