Question

【題目】如圖所示，在棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，PA=AD=DC=2，AB=4且AB∥CD，∠BAD=90°.

（1）求證：BC⊥PC；

（2）求PB與平面PAC所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題（1）連接，,取的中點(diǎn)，連接，，所以為等腰直角三角形，故，而，所以平面，所以.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量和平面的法向量，計算得線面角的正弦值為.

試題解析：

（1）在直角梯形中，，

取中點(diǎn)，連接，

則四邊形為正方形，

∴,

又，

則為等腰直角三角形，

∴，

又∵平面，平面，

∴，

由得平面，

∵平面，所以.

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，

則，.

由（1）知即為平面的一個法向量，

，

即與平面所成角的正弦值為.