Question

如圖，設(shè)矩形ABCD（AB＞AD）的周長為24，把它關(guān)于AC折起來，AB折過去后，交DC于P，設(shè)AB=x．
（1）請用x來表示DP；
（2）請用x來表示△ADP的面積；
（3）請根據(jù)△ADP的面積表達(dá)式求此面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由AB=x可得AD=12-x，由DP=PB'可得AP=AB'-PB'=AB-DP=x-DP，
（2）利用勾股定理得 （12-x）²+DP²=（x-DP）²可求DP=12-

72

x

，從而可得△ADP的面積S=

1

2

AD•DP=

1

2

(12-x)•(12-

72

x

)=108-(6x+

432

x

)，
（3）利用基本不等式可得6x+

432

x

≥2

6x• 432 x

=72

2

，從而可得S=108-(6x+

432

x

)≤108-72

2

．

解答：解：（1）∵AB=x，∴AD=12-x，
又DP=PB'，AP=AB'-PB'=AB-DP=x-DP，
由勾股定理得  （12-x）²+DP²=（x-DP）²，得DP=12-

72

x

，
（2）結(jié)合（1）可得，△ADP的面積S=

1

2

AD•DP=

1

2

(12-x)•(12-

72

x

)
=108-(6x+

432

x

)，
（3）∵x＞0，∴6x+

432

x

≥2

6x• 432 x

=72

2

，
∴S=108-(6x+

432

x

)≤108-72

2

．
當(dāng)且僅當(dāng)6x=

432

x

時，即當(dāng)x=6

2

時，S有最大值108-72

2

．

點(diǎn)評：利用三角形知識解決實(shí)際問題，主要構(gòu)造三角形或其它幾何圖形，借助于三角形的知識進(jìn)行求解，而基本不等式的應(yīng)用是求解函數(shù)最值的常用方法．