Question

如圖，設(shè)矩形ABCD（AB＞AD）的周長(zhǎng)為l（l為定值），把該矩形沿AC折起來，AB折過去后，交DC于點(diǎn)P，設(shè)AB=x，△ADP的面積為y．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式，并指出定義域；
（2）求△ADP的最大面積及相應(yīng)的x值．

Answer 1

分析：（1）求函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是得出三角形的邊長(zhǎng)．由AB=x可得AD=

l

2

-x，由DP=PB'可得AP=x-DP，利用勾股定理可求DP，從而可得函數(shù)表達(dá)式；
（2）利用基本不等式可得

3l

x

+x≥2

3l

，從而可求面積的最大值．

解答：解：（1）由AB=x可得AD=

l

2

-x，由DP=PB'可得AP=AB'-PB'=AB-DP=x-DP，
利用勾股定理得 （

l

2

-x）²+DP²=（x-DP）²可求DP=

l

2

-

l2

8x

∴△ADP的面積 S=

1

2

AD•DP=

1

2

(12-x)•(

l

2

-

l2

8x

)=3l+

1

16

l2-

l

4

(

3l

x

+x)
函數(shù)的定義域?yàn)?span id="ora7yct" class="MathJye">(

l

4

，

l

2

)
（2）由于函數(shù)的定義域?yàn)?span id="ksdexul" class="MathJye">(

l

4

，

l

2

)，∴

3l

x

+x≥2

3l

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

3l

時(shí)取等號(hào)．
此時(shí)△ADP的最大面積為3l+

1

16

l2-

3l

2

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與英語，主要考查利用三角形知識(shí)解決實(shí)際問題，關(guān)鍵是構(gòu)造三角形或其它幾何圖形，借助于三角形的知識(shí)進(jìn)行求解，而基本不等式的應(yīng)用是求解函數(shù)最值的常用方法．