Question

【題目】已知橢圓： 過(guò)點(diǎn)，離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）， 是過(guò)點(diǎn)且互相垂直的兩條直線，其中交圓于， 兩點(diǎn)， 交橢圓于另一個(gè)點(diǎn)，求面積取得最大值時(shí)直線的方程.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】試題分析：(1)由條件布列關(guān)于的方程組，得到橢圓的方程；（2）設(shè)： ，分類，聯(lián)立方程，利用根與系數(shù)關(guān)系表示面積， ，然后利用均值不等式求最值.

試題解析：

（1）由題意得，解得，

所以橢圓方程為.

（2）由題知直線的斜率存在，不妨設(shè)為，則： .

若時(shí)，直線的方程為， 的方程為，易求得，

，此時(shí).

若時(shí)，則直線： .

圓心到直線的距離為.

直線被圓截得的弦長(zhǎng)為.

由 ，

得，

故 .

所以

.

當(dāng)時(shí)上式等號(hào)成立.

因?yàn)?/span>，

所以面積取得最大值時(shí)直線的方程應(yīng)該是.