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        1. (2012•惠州模擬)已知三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx(a,b,c∈R).
          (1)若函數(shù)f(x)過點(diǎn)(-1,2)且在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y+2=0,求函數(shù)f(x)的解析式;
          (2)當(dāng)a=1時,若-2≤f(-1)≤1,-1≤f(1)≤3,試求f(2)的取值范圍;
          (3)對?x∈[-1,1],都有|f′(x)|≤1,試求實(shí)數(shù)a的最大值,并求a取得最大值時f(x)的表達(dá)式.
          分析:(1)由題意可得f(-1)=-a+b-c=2,①
          f(1)=-2
          f′(1)=0
          ,即
          a+b+c=-2
          3a+2b+c=0
          ②,由①②可解得得a、b、c的值,可寫解析式;
          (2)由f(1)=1+b+c,f(-1)=-1+b-c可知f(2)=8+4b+2c=3f(1)+f(-1)+6,求得-2≤f(-1)≤1,-1≤f(1)≤3整體利用可求f(2)的范圍;
          (3)?x∈[-1,1],都有|f′(x)|≤1,可知|f′(-1)|≤1,|f′(0)|≤1,|f′(1)|≤1,及6a=f′(-1)+f′(1)-2f′(0)可求a的最大值
          2
          3
          ,由此可解bc的值,即得答案.
          解答:解:(1)∵函數(shù)f(x)過點(diǎn)(-1,2),∴f(-1)=-a+b-c=2,①
          由f′(x)=3ax2+2bx+c,函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為:y+2=0
          f(1)=-2
          f′(1)=0
          ,∴
          a+b+c=-2
          3a+2b+c=0
          ,②
          由①和②解得
          a=1
          b=0
          c=-3
          ,故f(x)=x3-3x;
          (2)當(dāng)a=1時,f(x)=x3+bx2+cx,∴f(1)=1+b+c,f(-1)=-1+b-c
          可得:c=
          f(1)-f(-1)
          2
          -1,b=
          f(1)+f(-1)
          2
          ∴f(2)=8+4b+2c=3f(1)+f(-1)+6
          又由題意-2≤f(-1)≤1,-1≤f(1)≤3,∴-3≤3f(1)≤9,
          故1≤3f(1)+f(-1)+6≤16,
          即1≤f(2)≤16.
          (3)∵f′(x)=3ax2+2bx+c,則
          f′(0)=c
          f′(-1)=3a-2b+c
          f′(1)=3a+2b+c
          ,可得6a=f′(-1)+f′(1)-2f′(0)
          ∵當(dāng)-1≤x≤1時,|f′(x)|≤1,∴|f′(-1)|≤1,|f′(0)|≤1,|f′(1)|≤1
          ∴6|a|=|f′(-1)+f′(1)-2f′(0)|≤|f′(-1)+f′(1)+2f′(0)|≤4
          ∴a
          2
          3
          ,故a的最大值
          2
          3
          ,
          當(dāng)a=
          2
          3
          時,
          |f′(0)|=|c|=1
          |f′(-1)|=|2-2b+c|=1
          |f′(1)|=|2+2b+c|=1
          ,解得
          b=0
          c=-1
          ,
          ∴a取得最大值時f(x)=
          2
          3
          x3-x.
          點(diǎn)評:本題為導(dǎo)數(shù)和不等式的綜合應(yīng)用,涉及整體代入法求取值范圍,屬中檔題.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•惠州模擬)已知實(shí)數(shù)4,m,9構(gòu)成一個等比數(shù)列,則圓錐曲線
          x2
          m
          +y2=1
          的離心率為(  )

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•惠州模擬)已知橢圓C:  
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1  (a>b>0)
          的離心率為
          6
          3
          ,且經(jīng)過點(diǎn)(
          3
          2
          ,
          1
          2
          )

          (Ⅰ)求橢圓C的方程;
          (Ⅱ)過點(diǎn)P(0,2)的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),求△AOB(O為原點(diǎn))面積的最大值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•惠州模擬)如圖,已知AB⊥平面ACD,DE∥AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中點(diǎn).
          (1)求證:AF∥平面BCE;
          (2)求證:平面BCE⊥平面CDE;
          (3)求平面BCE與平面ACD所成銳二面角的大。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•惠州模擬)如圖,在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,BC=2,E是PD的中點(diǎn).
          (1)求證:平面PDC⊥平面PAD;
          (2)求二面角E-AC-D所成平面角的余弦值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•惠州模擬)計算:
          1
          -1
          1-x2
          dx
          =
          π
          2
          π
          2

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          同步練習(xí)冊答案