Question

（2008•上海一模）對于任意實數(shù)a，要使函數(shù)y=5cos(

2k+1

3

πx-

π

6

)(k∈N*)在區(qū)間[a，a+3]上的值

5

4

出現(xiàn)的次數(shù)不小于4次，又不多于8次，則k可以�。ā　。�

A．1和2

B．2和3

C．3和4

D．2

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)一個周期有且只有2個不同的自變量使其函數(shù)值為

5

4

，故

5

4

出現(xiàn)的次數(shù)不小于4次，又不多于8次，得到該函數(shù)在此區(qū)間上至少2個周期，至多4個周期，由區(qū)間的長度為3，列出關(guān)于周期T的不等式組，再找出ω的值，代入周期公式求出函數(shù)的周期T，將求出的T代入不等式組得到關(guān)于k的不等式組，求出不等式組的解集中的正整數(shù)解即可得到k的值．

解答：解：函數(shù)在一個周期內(nèi)有且只有2個不同的自變量使其函數(shù)值為

5

4

，
因此該函數(shù)在區(qū)間[a，a+3]（該區(qū)間的長度為3）上至少有2個周期，至多有4個周期，
因此 3＞2T，且3＜4T，即

3

4

＜T＜

3

2

，
又∵ω=

2k+1

3

π，∴T=

6

2k+1

，
∴

3

4

＜

6

2k+1

＜

3

2

，
解得

3

2

＜k＜

7

2

，又k∈N，
則k=2或3．
故選B

點評：本題考查三角函數(shù)的周期性及其求法，考查了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．根據(jù)題意得出該函數(shù)在區(qū)間[a，a+3]（該區(qū)間的長度為3）上至少有2個周期，至多有4個周期是本題的突破點，將所求的k的值進行轉(zhuǎn)化與化歸，列出關(guān)于k的不等式是解決本題的關(guān)鍵，充分利用函數(shù)的周期性和區(qū)間長度的關(guān)系，注意不等式思想的運用．