【題目】已知橢圓C:(
)的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形,直線
與以橢圓C的右焦點為圓心,以橢圓的半長軸長為半徑的圓相切.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設P為橢圓C上一點,若過點的直線l與橢圓C相交于不同的兩點S和T,滿足
(O為坐標原點),求實數t的取值范圍.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)根據題意設出圓的標準方程,利用切線的性質、等腰直角三角形的性質,結合橢圓中的關系進行求解即可;
(2)根據題意設出直線l的方程和點P的坐標,將直線與橢圓的方程聯立,根據直線與橢圓的位置關系,結合一元二次根的判別式、根與系數的關系、平面向量加法和數乘的坐標表示公式進行求解即可.
(1)由題意,以橢圓C的右焦點為圓心,以橢圓的長半軸長為半徑的圓的方程為
,∴圓心到直線
的距離為
(*)
∵橢圓C的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形,
∴,
代入(*)式得,∴
,
故所求橢圓方程為
(2)由題意知直線l的斜率存在,設直線l方程為,設
,
將直線方程代入橢圓方程得,
,
,
設,
,則
,
由,
當時,直線l為x軸,P點在橢圓上適合題意;
當時,得
∴,
將上式代入橢圓方程得:,
整理得:,
由知
,所以
,∴
綜上可得
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD∥BC,AP=AB=AD=1.
(Ⅰ)若直線PB與CD所成角的大小為,求BC的長;
(Ⅱ)求二面角B-PD-A的余弦值.
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【題目】如圖,三棱柱中,
,D為AB上一點,且
平面
.
(1)求證:;
(2)若四邊形是矩形,且平面
平面ABC,直線
與平面ABC所成角的正切值等于2,
,
,求三樓柱
的體積.
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【題目】已知的三邊長為a,b,c,有下列四個命題:
①以,
,
為邊長的三角形一定存在;
②以,
,
為邊長的三角形一定存在;
③以,
,
為邊長的三角形一定存在;
④以,
,
為邊長的三角形一定存在.
其中正確的是( )
A.①③B.②③C.②④D.①④
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【題目】建造一條防洪堤,其斷面為等腰梯形,腰與底邊成角為,防洪堤高記為
(如圖),考慮到防洪堤堅固性及石塊用料等因素,設計其斷面面積為
平方米,為了使堤的上面與兩側面的水泥用料最省,則斷面的外周長
(
)要最。
(1)用表示
、
;
(2)將表示成
的函數
,如
限制在
范圍內,
最小為多少米?并說明理由.
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【題目】已知拋物線的焦點為
,準線為
,拋物線
上存在一點
,過點
作
,垂足為
,使
是等邊三角形且面積為
.
(1)求拋物線的方程;
(2)若點是圓
與拋物線
的一個交點,點
,當
取得最小值時,求此時圓
的方程.
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【題目】某社團有男生30名,女生20名,從中抽取一個容量為5的樣本,恰好抽到2名男生和3名女生.有以下3種說法:
①該抽樣可能是簡單隨機抽樣;
②該抽樣不可能是分層隨機抽樣;
③該抽樣中,男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率.
其中說法正確的為( )
A.①②③B.①②C.②③D.①③
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