Question

【題目】已知橢圓C：（）的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形，直線與以橢圓C的右焦點為圓心，以橢圓的半長軸長為半徑的圓相切．

（1）求橢圓C的方程；

（2）設P為橢圓C上一點，若過點的直線l與橢圓C相交于不同的兩點S和T，滿足（O為坐標原點），求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）根據題意設出圓的標準方程，利用切線的性質、等腰直角三角形的性質，結合橢圓中的關系進行求解即可；

（2）根據題意設出直線l的方程和點P的坐標，將直線與橢圓的方程聯立，根據直線與橢圓的位置關系，結合一元二次根的判別式、根與系數的關系、平面向量加法和數乘的坐標表示公式進行求解即可.

（1）由題意，以橢圓C的右焦點為圓心，以橢圓的長半軸長為半徑的圓的方程為

，∴圓心到直線的距離為（*）

∵橢圓C的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形，

∴，

代入（*）式得，∴，

故所求橢圓方程為

（2）由題意知直線l的斜率存在，設直線l方程為，設，

將直線方程代入橢圓方程得，

，，

設，，則，

由，

當時，直線l為x軸，P點在橢圓上適合題意；

當時，得

∴，

將上式代入橢圓方程得：，

整理得：，

由知，所以，∴

綜上可得