Question

已知函數(shù)，（為常數(shù)）．
（1）函數(shù)的圖象在點處的切線與函數(shù)的圖象相切，求實數(shù)的值；
（2）若，，、使得成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)；
（3）當時，若對于區(qū)間內的任意兩個不相等的實數(shù)、，都有
成立，求的取值范圍.

Answer 1

（1）或；（2）；（3）.

試題分析：（1）利用導數(shù)求出函數(shù)在點的切線方程，并將切線方程與函數(shù)的方程聯(lián)立，利用求出的值；（2）將題中問題轉化為從而確定最大整數(shù)的值；（3）假設，考查函數(shù)和的單調性，從而將，得到，于是得到，然后構造函數(shù)
，轉化為函數(shù)在區(qū)間為單調遞增函數(shù)，于是得到在區(qū)間上恒成立，利用參變量分離法求出的取值范圍.
（1），，，
函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，
直線與函數(shù)的圖象相切，由，消去得，
則，解得或；
（2）當時，，
，
當時，，在上單調遞減，
，，
則，
，故滿足條件的最大整數(shù)；
（3）不妨設，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，，
函數(shù)圖象的對稱軸為，且，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，
，
等價于，
即，
等價于在區(qū)間上是增函數(shù)，
等價于在區(qū)間上恒成立，
等價于在區(qū)間上恒成立，
，又，.