Question

某網(wǎng)店對(duì)一應(yīng)季商品過(guò)去20天的銷(xiāo)售價(jià)格及銷(xiāo)售量進(jìn)行了監(jiān)測(cè)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，第x天（1≤x≤20，x∈N）的銷(xiāo)售價(jià)格（單位：元）為p=

44+x，1≤x≤6 56-x，6＜x≤20

，第x天的銷(xiāo)售量為q=

48-x，1≤x≤8 32+x，8＜x≤20

，已知該商品成本為每件25元．
（Ⅰ）寫(xiě)出銷(xiāo)售額t關(guān)于第x天的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）求該商品第7天的利潤(rùn)；
（Ⅲ）該商品第幾天的利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意寫(xiě)出銷(xiāo)售額t關(guān)于第x天的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）根據(jù)分段函數(shù)，求該商品第7天的利潤(rùn)；
（Ⅲ）利用函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由題意知t=

(44+x)(48-x)，1≤x≤6 (56-x)(48-x)，6＜x≤8 (56-x)(32+x)，8＜x≤20

-----------------------------------（5分）
（Ⅱ）當(dāng)x=7時(shí)，t=（56-7）×（48-7）-25×（48-7）=984元-----------------------------------（8分）
（Ⅲ）設(shè)該商品的利潤(rùn)為H（x），
則

H(x)= (44+x-25)(48-x)，1≤x≤6 (56-x-25)(48-x)，6＜x≤8 (56-x-25)(32+x)，8＜x≤20 = (19+x)(48-x)，1≤x≤6 (31-x)(48-x)，6＜x≤8 (31-x)(32+x)，8＜x≤20

-----------------------------------（11分）
當(dāng)1≤x≤6時(shí)，H_max（x）=H（6）=1050
當(dāng)6＜x≤8時(shí)，H_max（x）=H（7）=984
當(dāng)8＜x≤20時(shí)，H_max（x）=H（9）=902
∴第6天利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1050元．-----------------------------------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出分段函數(shù)，然后利用分段函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)．