Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明曲線是什么圖形；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，若，求直線的方程；

（3）設(shè)是直線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)為，設(shè)，求證：過(guò)三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，曲線是以為圓心，2為半徑的圓（2）的方程為或.（3）證明見(jiàn)解析，所有定點(diǎn)的坐標(biāo)為，

【解析】

（1）利用兩點(diǎn)間的距離公式并結(jié)合條件，化簡(jiǎn)得出曲線的方程，根據(jù)曲線方程的表示形式確定曲線的形狀；

（2）根據(jù)幾何法計(jì)算出圓心到直線的距離，對(duì)直線分兩種情況討論，一是斜率不存在，一是斜率存在，結(jié)合圓心到直線的距離求出直線的斜率，于此得出直線的方程；

（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)切線的性質(zhì)得出，從而可得出過(guò)、、三點(diǎn)的圓的方程，整理得出，然后利用

，解出方程組可得出所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）由題意得，化簡(jiǎn)可得：，

所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.

曲線是以為圓心，為半徑的圓；

（2）①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，不成立；

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，即，

圓心到的距離為 ∵

∴, 即，解得或，

∴的方程為或；

（3）證明：∵在直線上，則設(shè)

∵為曲線的圓心，由圓的切線的性質(zhì)可得，

∴經(jīng)過(guò)的三點(diǎn)的圓是以為直徑的圓，

則方程為，

整理可得,

令，且,

解得或

則有經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)，所有定點(diǎn)的坐標(biāo)為，.