Question

【題目】已知兩個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足.設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線.

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）若與曲線交于不同的兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率；

（3）若， 是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作曲線的兩條切線，切點(diǎn)為，探究：直線是否過定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，化簡整理，即可得到所求軌跡的方程；（2）由，則點(diǎn)到邊的距離為，由點(diǎn)到線的距離公式得直線的斜率；（3）由題意可知：O，Q，M，N四點(diǎn)共圓且在以OQ為直徑的圓上，設(shè)，則圓的圓心為運(yùn)用直徑式圓的方程，得直線的方程為，結(jié)合直線系方程，即可得到所求定點(diǎn)．

（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為

由可得，，

整理可得

所以曲線的軌跡方程為.

（2）依題意，，且，則點(diǎn)到邊的距離為

即點(diǎn)到直線的距離，解得

所以直線的斜率為.

（3）依題意，，則都在以為直徑的圓上

是直線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)

則圓的圓心為，且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)

即圓的方程為 ，

又因?yàn)?/span>在曲線上

由，可得

即直線的方程為

由且可得，解得

所以直線是過定點(diǎn).