Question

【題目】已知圓C的方程為：（x－3）2＋（y－2）2＝r2（r>0），若直線3x＋y＝3上存在一點P，在圓C上總存在不同的兩點M，N，使得點M是線段PN的中點，則圓C的半徑r的取值范圍是________．

Answer 1

【答案】.

【解析】

通過已知條件，求出點P的軌跡方程，而點P又在直線3x＋y＝3上，問題轉(zhuǎn)化為直線與圓有公共點，即可求出r的取值范圍．

如圖，連結(jié)PC，依次交圓于E，F兩點，連結(jié)MF，EN，

因為∠PNE和∠PFM都是弧的圓周角，由圓周角定理可得∠PNE＝∠PFM，又∠NPE＝∠FPM，所以△PNE∽△PFM，所以，即，

而，

所以有，因為M是線段PN的中點，所以，

又因為M，N是圓上的任意兩點，則有0<≤2r，即0<≤8r2.

設(shè)動點P（x，y），圓心C坐標(biāo)為（3，2），則有0<（x－3）2＋（y－2）2－r2≤8r2，即r2<（x－3）2＋（y－2）2≤9r2，在一個圓環(huán)內(nèi)，又因為P在直線3x＋y＝3上，所以直線3x＋y＝3與圓環(huán)有公共點，即直線與圓（x－3）2＋（y－2）2＝9r2有公共點，

則有，解得，所以圓C的半徑r的取值范圍是.

故答案為：