Question

【題目】在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖，在鱉臑中，平面，，且，過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連結(jié)，當(dāng)的面積最大時(shí)，__________.

Answer 1

【答案】

【解析】

利用平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可得，結(jié)合已知，利用線面垂直的判定定理可以證明出平面，進(jìn)而可以證明出，再結(jié)合已知，利用線面垂直的判定定理可以證明平面，因此可以證明出，最后利用線面垂直定理證明出平面，因此得到，，且為中點(diǎn).

解法1：

設(shè)，，利用三角形面積公式可以求出的長，在利用，求出的長，最后求出的面積表達(dá)式，利用換元法和配方法求出面積平方的最大值，最后求出的值；

解法2：

設(shè)，求出、、、的大小，再求出的大小，最后求出

表達(dá)式，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系中商關(guān)系和基本不等式求出最大值，根據(jù)等號(hào)成立的條件求出的值.

因?yàn)?/span>平面，所以，又，

所以平面，所以，又，

所以平面，所以，又，

所以平面，綜上，，且為中點(diǎn).

解法1：

設(shè)，，則，又，則，

又，可得，所以，

所以，令，

則

所以當(dāng)時(shí)即，，，此時(shí)，故填.

解法2.

設(shè)，則，所以.

又，，所以，所以

所以

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取等號(hào).

故答案為：