Question

【題目】已知函數(shù).

（1）設，（其中是的導數(shù)），求的最小值；

（2）設，若有零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）求導數(shù)，得，對再求導，由導數(shù)單調性得最小值；

（2）由（1）知，因此在時，無零點，在時把函數(shù)整理為的函數(shù)：，因，，故是的減函數(shù)，再分類討論，，

，令，利用導數(shù)知識說明函數(shù)無零點，有一個零點，時，用零點存在定理說明函數(shù)有零點．為此只要證明，即可．

解：（1），，定義域為

，時，，單減；時，，單增

．

（2）①故當時，由（1）知，故單增，當時，；當時，，，故；而，故時，，此時無解；

，因，，故是的減函數(shù)

②當時，，

令，顯然，，

，函數(shù)單調遞增

又，故時，，單減；時，，單增，故，，此時無解；

③當時，，此時，即有零點；

④當時，，令有，下證存在使得，

，令，

令，則

，而，只需

記，單增，，故單增

，故存在，使得，由前，故在有解.

綜上所述，當時，有零點