Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)（為參數(shù)），將曲線(xiàn)上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到曲線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于、兩點(diǎn)．

（1）求曲線(xiàn)的參數(shù)方程和的取值范圍；

（2）求中點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程．

Answer 1

【答案】（1）參數(shù)方程為（為參數(shù)），的取值范圍是；

（2）（為參數(shù)，）．

【解析】

（1）根據(jù)伸縮變換可得出曲線(xiàn)的參數(shù)方程，然后分與兩種情況討論，結(jié)合直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交得出的取值范圍；

（2）寫(xiě)出直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），并設(shè)、、對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為、、，可得出，將直線(xiàn)的參數(shù)方程與曲線(xiàn)的普通方程聯(lián)立，得出關(guān)于的二次方程，由韋達(dá)定理可得出關(guān)于的表達(dá)式，代入直線(xiàn)的參數(shù)方程可得出點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程.

（1）曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）

當(dāng)時(shí)，與交于兩點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，記，則的方程為，與交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)，解得或，即或．

綜上，的取值范圍是；

（2）的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）．

設(shè)、、對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為、、，曲線(xiàn)的普通方程為，

將直線(xiàn)的參數(shù)方程與曲線(xiàn)的普通方程聯(lián)立得，

則，且、滿(mǎn)足．

于是，，

又點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足，

所以點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程是（為參數(shù)，）．