Question

（2013•綿陽(yáng)二模）動(dòng)點(diǎn)M（x，y）與定點(diǎn)F（l，0）的距離和它到直線(xiàn)l：x=4的距離之比是常數(shù)

1

2

，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I ）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程，并說(shuō)明軌跡E是什么圖形？
（II） 已知圓C的圓心在原點(diǎn)，半徑長(zhǎng)為

2

是否存在圓C的切線(xiàn)m，使得m與圓C相切于點(diǎn)P，與軌跡E交于A，B兩點(diǎn)，且使等式

AP

•

PB

=

OP

2成立？若存在，求 出m的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，結(jié)合題意建立關(guān)于x、y的等式，化簡(jiǎn)整理即得

x2

4

+

y2

3

=1，可得軌跡E為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合OP⊥AB化簡(jiǎn)得

OA

•

OB

=0．求出圓C方程為x²+y²=2，假設(shè)滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)m存在，分直線(xiàn)m的斜率存在與不存在兩種情況加以討論，聯(lián)解直線(xiàn)m與橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系建立x₁+x₂、x₁x₂關(guān)于斜率k和縱截距b的等式，所得到的方程均無(wú)實(shí)數(shù)解，由此可得不存在直線(xiàn)m滿(mǎn)足題中的條件．

解答：解：（Ⅰ）∵|MF|=

(x-1)2+y2

，M（x，y）到直線(xiàn)l：x=4的距離為|x-4|，
∴由題意，得

(x-1)2+y2

|x-4|

=

1

2

，
化簡(jiǎn)整理，得：

x2

4

+

y2

3

=1，可得軌跡E為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓．    …（5分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵

OA

•

OB

=（

OP

+

PA

）•（

OP

+

PB

）=

OP

2+

OP

•

PB

+

PA

•

OP

+

PA

•

PB

，
由題知OP⊥AB，故

OP

•

PB

=

PA

•

OP

=0．∴

OA

•

OB

=

OP

2+

PA

•

PB

=0．
∵圓C的圓心在原點(diǎn)，半徑長(zhǎng)為

2

，∴圓C方程為x²+y²=2．
假設(shè)滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)m存在，
①當(dāng)直線(xiàn)m的斜率不存在時(shí)，則m的方程為x=±

2

，
代入橢圓

x2

4

+

y2

3

=1，得y=±

6

2

．
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=-2-

6

4

≠0，這與

OA

•

OB

=0矛盾，故此時(shí)m不存在．
②當(dāng)直線(xiàn)m的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)m的方程為y=kx+b，
∴|OP|=

|b|

1+k2

=

2

，即b²=2k²+2．
聯(lián)立

x2

4

+

y2

3

=1與y=kx+b得，（3+4k²）x²+8kbx+4b²-12=0，
∴x₁+x₂=

-8kb

3+4k2

，x₁x₂=

4b2-12

3+4k2

，
y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=k²x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²=

3b2-12k2

3+4k2

，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

4b2-12

3+4k2

+

3b2-12k2

3+4k2

=0．
∴7b²-12k²-12=0，
又∵b²=2k²+2，
∴2k²+2=0，該方程無(wú)解，即此時(shí)直線(xiàn)m也不存在．
綜上所述，不存在直線(xiàn)m滿(mǎn)足條件．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的條件，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程并討論了直線(xiàn)m與曲線(xiàn)的位置關(guān)系．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單性質(zhì)、軌跡方程的求法和直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．