Question

【題目】如圖為橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，D，E是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，橢圓的離心率，的面積為.若點(diǎn)在橢圓C上，則點(diǎn)稱為點(diǎn)M的一個(gè)“橢圓”，直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)的“橢圓”分別為P，Q.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）問是否存在過左焦點(diǎn)的直線，使得以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求出該直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線方程為或.

【解析】

試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、韋達(dá)定理、向量垂直的充要條件等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、計(jì)算能力.第一問，利用橢圓的離心率和三角形面積公式列出表達(dá)式，解方程組，得到基本量a和b的值，從而得到橢圓的方程；第二問，直線l過左焦點(diǎn)，所以討論直線的斜率是否存在，當(dāng)斜率不存在時(shí)，可以直接寫出直線方程，令直線與橢圓聯(lián)立，得到交點(diǎn)坐標(biāo)，驗(yàn)證以PQ為直徑的圓不過坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)斜率存在時(shí)，直線與橢圓聯(lián)立，消參，利用韋達(dá)定理，證明，解出k的值.

（1）由題意，，即，，即 2分

又得：

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：． 5分

(2)①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為

聯(lián)立，解得或，

不妨令，，所以對(duì)應(yīng)的“橢點(diǎn)”坐標(biāo)，．

而

所以此時(shí)以為直徑的圓不過坐標(biāo)原點(diǎn)． 7分

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為

消去得，

設(shè)，則這兩點(diǎn)的“橢點(diǎn)”坐標(biāo)分別為

由根與系數(shù)關(guān)系得： 9分

若使得以為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，則

而，∴

即，即

代入，解得：

所以直線方程為或． 12分