Question

一盒中裝有9張各寫有一個(gè)數(shù)字的卡片，其中4張卡片上的數(shù)字是1，3張卡片上的數(shù)字是2，2張卡片上的數(shù)字是3，從盒中任取3張卡片．
（Ⅰ）求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率；
（Ⅱ）X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．（注：若三個(gè)數(shù)字a，b，c滿足a≤b≤c，則稱b為這三個(gè)數(shù)的中位數(shù)．）

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：常規(guī)題型

分析：第一問是古典概型的問題，要先出基本事件的總數(shù)和所研究的事件包含的基本事件個(gè)數(shù)，然后代入古典概型概率計(jì)算公式即可，相對(duì)簡(jiǎn)單些；
第二問應(yīng)先根據(jù)題意求出隨機(jī)變量X的所有可能取值，此處應(yīng)注意所取三張卡片可能來自于相同數(shù)字（如1或2）或不同數(shù)字（1和2、1和3、2和3三類）的卡片，因此應(yīng)按卡片上的數(shù)字相同與否進(jìn)行分類分析，然后計(jì)算出每個(gè)隨機(jī)變量所對(duì)應(yīng)事件的概率，最后將分布列以表格形式呈現(xiàn)．

解答： 解：（Ⅰ）由古典概型的概率計(jì)算公式得所求概率為
         P=

C 3 4 + C 3 3

C 3 9

=

5

84

，
（Ⅱ）由題意知X的所有可能取值為1，2，3，且
 P（X=1）=

C 2 4 C 1 5 + C 3 4

C 3 9

=

17

42

，
P（X=2）=

C 1 3   C 1 4   C 1 2 + C 2 3   C 1 6 +  C 3 3

C 3 9

=

43

84

，
 P（X=3）=

C 2 2   C 1 7

C 3 9

=

1

12

，
 所以X的分布列為：

X	1	2	3
P	17 42	43 84	1 12

所以E（X）=1×

17

42

+2×

43

84

+3×

1

12

=

47

28

．

點(diǎn)評(píng)：本題屬于中檔題，關(guān)鍵是要弄清涉及的基本事件以及所研究的事件是什么才能解答好第一問；第二問的只要是準(zhǔn)確記住了中位數(shù)的概念，應(yīng)該說完成此題基本沒有問題．