Question

【題目】已知函數(shù)，

（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）函數(shù)在區(qū)間上的極值點(diǎn)從小到大分別為，，證明：.

Answer 1

【答案】（1）兩個(gè)

（2）證明見解析

【解析】

（1）先由原函數(shù)求出其導(dǎo)函數(shù)，再研究導(dǎo)函數(shù)在，，的符號(hào)問題，從而得出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，從而得出函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再結(jié)合（1）的結(jié)論及正切函數(shù)的性質(zhì)可得，再結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解.

解：（1）因?yàn)?/span>，所以，

當(dāng)時(shí)，，

在上單調(diào)遞減，，在上無(wú)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，

在上單調(diào)遞增，，

在上有唯一零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，

，在上有唯一零點(diǎn)，

綜上，函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn);

（2）因?yàn)?/span>，所以，

由（1）知在無(wú)極值點(diǎn)；在有極小值點(diǎn)，即為；

在有極大值點(diǎn)，即為，

由，,

以及的單調(diào)性,

,

，由函數(shù)在單調(diào)遞增,

得，

,

由在單調(diào)遞減得，

即，

故.