Question

【題目】如圖，正三棱柱的所有棱長均為2，點(diǎn)、分別在棱、上移動，且，.

（1）若，求異面直線與所成角的余弦值；

（2）若二面角的大小為，且，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）推導(dǎo)出平面，，，建立分別以、、為，，軸的空間直角坐標(biāo)系，利用法向量能求出異面直線與所成角．

（2
）推導(dǎo)出平面的法向量和平面的一個法向量，由二面角的余弦值，能求出的值．

在正三棱柱中，取中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連、，則

，，又正三棱柱中，平面，、平面，所以，，所以，.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，

，，

（1）若，，，

，

故異面直線與所成角的余弦值為.

（2）由（1）可得，

設(shè)平面的一個法向量，則，取得：，

取平面的一個法向量，

由二面角的大小為，且，得

，

化簡得，所以.