Question

在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=

2

2

，一曲線E過C點，動點P在曲線E上運動，且保持|PA|+|PB|的值不變．
（1）建立適當?shù)淖鴺讼�，求曲線E的方程；
（2）直線l：y=x+t與曲線E交于M，N兩點，求四邊形MANB的面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）以AB為x軸，以AB中點為原點O建立直角坐標系．由|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=

2

2

+

22+( 2 2 )2

=2

2

，知動點軌跡為橢圓，由此能求出其方程．
（2）將y=x+t代入方程

x2

2

+y²=1，得3x²+4tx+2t²-2=0．設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），再由根的判別式和根與系數(shù)的關系進行求解．

解答：解：（1）以AB為x軸，以AB中點為原點O建立直角坐標系．
∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=

2

2

+

22+( 2 2 )2

=2

2

，
∴動點軌跡為橢圓，且a=

2

，c=1，從而b=1．
∴方程為

x2

2

+y²=1
（2）將y=x+t代入方程

x2

2

+y²=1，得3x²+4tx+2t²-2=0．
設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
∴△=16t²-4•3•（2t²-2）＞0①，
x₁+x₂=-

4t

3

②，
x₁x₂=

2t2-2

3

③，
由①得t²＜3，
∴S_MANB=

1

2

|AB||y₁-y₂|=|y₁-y₂|=|x₁-x₂|=

2

3

6-2t2

．

點評：本題考查圓錐曲線和直線的位置關系和應用，解題時要注意公式的靈活運用．