Question

設函數f（x）=

1

3

x³，g（x）=-x²+ax-a²（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在x=3處的切線與曲線y=g（x）相切，求a的值；
（2）當-1＜a＜3時，試討論函數h（x）=f（x）+g（x）在x∈（0，3）的零點個數．

Answer 1

分析：（1）利用導數求出曲線y=f（x）在x=3處的切線方程，根據切線與曲線y=g（x）相切，可得一元二次方程，結合根的判別式，可求a的值；
（2）當-1＜a＜3時，對a進行討論，利用函數的單調性，結合零點存在定理，即可得出函數h（x）=f（x）+g（x）在x∈（0，3）的零點個數．

解答：解：（1）由f（x）=

1

3

x³，可得f′（x）=x²．…（1分）
∴f′（3）=9
∴曲線y=f（x）在x=3處的切線方程為y-9=9（x-3），
即y=9x-18．       …（2分）
又該切線與曲線y=g（x）相切
∴-x²+ax-a²=9x-18有兩個相等實根，…（3分）
即x²+（9-a）x+a²-18=0有兩個相等實根
∴△=（9-a）²-4（a²-18）=0     …（4分）
即a²+6a-51=0
解得a=-3±2

15

   …（5分）
（2）h（x）=f（x）+g（x）=

1

3

x3-x2+ax-a2，
∴h′（x）=x²-2x+a，
∴△=4-4a=4（1-a）．…（6分）
h（0）=-a²，h（3）=a（3-a）
①當1≤a＜3時，△≤0，∴h′（x）≥0在R上恒成立，
∴h（x）在（0，3）上單調遞增．…（7分）
此時h（0）＜0，h（3）＞0，則h（x）在（0，3）僅有一個零點；                …（8分）
②當a＜1時，△＞0
由h′（x）=0得x1=1-

1-a

，x2=1+

1-a

i）當-1＜a≤0時，x₁≤0，2≤x₂＜3
則當x∈（0，x₂）時，h′（x）＜0，h（x）單調遞減；
當x∈（x₂，3）時，h′（x）＞0，h（x）單調遞增；         …（9分）
又h（0）≤0，h（3）≤0，故h（x）在（0，3）沒有零點；        …（10分）
ii）當0＜a＜1時，0＜x₁＜1，1＜x₂＜2，則h（x）在（0，x₁）單調遞增，在（x₁，x₂）單調遞減，在（x₂，3）單調遞增     …（11分）
∵0＜a＜1，∴

1-a

＜1，∴1-a＜

1-a

，
從而1-

1-a

＜a，即x₁＜a，故0＜x₁＜a＜1．
而h(x1)=

1

3

x12(x1-3)+a(x1-a)
∴h（x₁）＜0        …（13分）
綜上，當-1≤a≤0時，h（x）在（0，3）沒有零點；
當0＜a＜3時，h（x）在（0，3）僅有一個零點．       …（14分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的零點，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．