Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ln(x+1)－x．

⑴求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

⑵若，證明：．

Answer 1

【答案】⑴（0，＋∞）；⑵證明見詳解

【解析】

第一問利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，第二問是函數(shù)類不等式的證明，這類問題常常以導數(shù)為工具，利用函數(shù)的單調(diào)性來解決．

解：解：（1）函數(shù)f(x)的定義域為．＝－1＝－．由<0及x>－1，得x>0．∴ 當x∈（0，＋∞）時，f(x)是減函數(shù)，即f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，＋∞）．

（2）證明：由⑴知，當x∈（－1，0）時，＞0，當x∈（0，＋∞）時，＜0，

因此，當時，≤，即≤0∴．

令，則＝．

∴ 當x∈（－1，0）時，＜0，當x∈（0，＋∞）時，＞0．

∴ 當時，≥，即≥0，∴．

綜上可知，當時，有．