Question

【題目】已知,函數(shù).

(Ⅰ)若有極小值且極小值為0，求的值；

(Ⅱ)當(dāng)時(shí)， , 求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】分析：

(Ⅰ)求出導(dǎo)函數(shù)，通過研究的解，確定和的解集，以確定的單調(diào)性，從而確定是否有極小值，在有極小值時(shí)，由極小值為0，解得值，如符合上述范圍，即為所求；

(Ⅱ)先把不等式f(x)+f(-x)≥0具體化為： ，可分類討論此不等式成立的情形， 時(shí)恒成立，由于對(duì)恒成立，因此只要，不等式滿足恒成立，接著還要研究時(shí)，不等式恒成立的的范圍，此時(shí)再分類：當(dāng)時(shí)， 恒成立，當(dāng)時(shí)， 恒成立，這時(shí)可換元，設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立， 對(duì)恒成立，可利用導(dǎo)數(shù)求最值，由最值＞0或＜0確定出的范圍．

詳解：

(Ⅰ) .

①若，則由解得,

當(dāng)時(shí)， 遞減；當(dāng)上， 遞增；

故當(dāng)時(shí)， 取極小值，令，得（舍去）.

若，則由，解得.

(i)若，即時(shí)，當(dāng)， .遞增；當(dāng)上， 遞增.

故當(dāng)時(shí)， 取極小值，令，得（舍去）

（ii）若，即時(shí)， 遞增不存在極值；

(iii)若，即時(shí)，當(dāng)上， 遞增； ， 上， 遞減；當(dāng)上， 遞增.

故當(dāng)時(shí)， 取極小值,得滿足條件.

故當(dāng) 有極小值且極小值為0時(shí),

(Ⅱ) 等價(jià)于，即

當(dāng)時(shí)，①式恒成立；當(dāng)時(shí)， ，故當(dāng)時(shí)，①式恒成立；

以下求當(dāng)時(shí),不等式恒成立，且當(dāng)時(shí)不等式恒成立時(shí)正數(shù)的取值范圍.

令,以下求當(dāng)恒成立，且當(dāng),

恒成立時(shí)正數(shù)的取值范圍.

對(duì)求導(dǎo)，得，記.

(i)當(dāng)時(shí)， ,

故在上遞增，又，故,

即當(dāng)時(shí)， 式恒成立；

(ii)當(dāng)時(shí)， ,故的兩個(gè)零點(diǎn)即的兩個(gè)零點(diǎn)和,在區(qū)間上， 是減函數(shù)，

又，所以，當(dāng)時(shí)①式不能恒成立.

綜上所述,所求的取值范圍是.